integral de línea de un campo vectorialpropiedades físicas químicas y mecánicas de los suelos

F r xydx+x 2 dy; donde! Si parametrizas las curva de tal forma que te muevas en la dirección opuesta . La integral de línea tiene muchos usos en física. ) {\ Displaystyle L} Se encontró adentro – Página 355Es decir , si el rotacional de un campo vectorial definido en un plano es dimensiones . ... ly = Vtų . dy ( z = K ) También se podría demostrar lo mismo a partir de la integral de línea del campo eléctrico entre dos puntos ri y r2 . Z !r 2xyds = Z =2 0 12 costsentp5sen2 t + 4 dt = 4 5 5sen 2 t + 4 3=2 =2 0 = 76 5 1.3 Problema. L 12. z z ) D ) Poder explicar el teorema de Green en el plano y saber usarlo para calcular una integral de línea Se encontró adentro – Página 3Nosotros mismos , en este momento estamos inmersos en varios campos que coexisten simultáneamente : temperatura ... Definimos : Circulación del campo vectorial F entre dos puntos A y B ( figura 1 ( a ) ) como la integral de línea : • В ... z , t ) En física, la circulación es la integral de línea de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada. Se encontró adentro – Página 28Teorema 2.1 ( 1er teorema fundamental del Cálculo para integrales de línea ) Sea f un campo vectorial continuo en un conjunto SCR ” abierto y conexo . Supongamos que la integral de línea de f es independiente del camino en S ( i.e. ... Nuevamente, usando las definiciones anteriores de F , C y su parametrización r ( t ) , construimos la integral a partir de una suma de Riemann . v Para poder seguir adecuadamente este tema, se requiere que el alumno repase y ponga al día , Consideramos un punto x2U en el que r X Sea F : D ʗ R^n→ R^n un campo vectorial continuo en D ʗR^n, C ʗ R^n una curva suave con C ʗ D con parametrización α: [a;b] →R^n. ) Se encontró adentro – Página 151Hemos visto de esta manera que el vector ROTACIONAL nos permite caracterizar aquellos puntos del campo vectorial en que ... Teorema de Stokes El teorema matemático que nos relaciona la integral de línea con la integral de superficie que ... Se encontró adentro – Página 16... ( m ) du + u | + î | + k Az ( u ) du ( 1.43 ) de forma tal que este campo vectorial R satisface la condición usual , d R ( u ) = A ( u ) . ( 1.44 ) du Integrales de línea Si escribimos al vector de posición como función de un ... Las integrales de lnea de un campo vectorial son independientes de la. ) = r ( ( INTEGRALES DE LÍNEA 1/21 1. ) z , Estas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie respectivamente. Las integrales de línea de los campos vectoriales son independientes de la parametrización r en valor absoluto , pero dependen de su orientación . Para iniciar sesión y utilizar todas las funciones de Khan Academy tienes que habilitar JavaScript en tu navegador. Integral de línea de un campo vectorial conservativo. 3.4- Integral de Línea de Campos Vectoriales y Aplicaciones. Bernat Masó, Ernest (Universitat Politècnica de Catalunya, 2021-09) Apunts. → ′ Considere la función f ( z ) = 1 / z , y deje que el contorno L sea ​​el círculo unitario en sentido antihorario alrededor de 0, parametrizado por z ( t ) = e it con t en [0, 2π] usando el exponencial complejo . {\ Displaystyle \ mathbf {r} '(t) = (x' (t), y '(t))}. Introducción En cursos anteriores se estudió la integral de Riemann simple R b a f(x) dx, primero para funciones reales definidas y acotadas en intervalos finitos, y luego para funciones no acotadas e intervalos infinitos. Para f : R 2 → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral de trayectoria), parametrizada como r(t)=x(t)i+y(t)j con t [a, b], está definida como:. Se encontró adentro – Página 121CAPÍTULO f ( x ) k = 1 X1 INTEGRALES CURVILÍNEAS a + b = c 8 X2 8.1 . ... Definición ( Integral de línea de un campo vectorial ) Si F es un campo vectorial en R ” YR : [ a , b ] R " define una curva regular C , la integral de F ... tu Sea γ un camino en R2, regular a trozos, cerrado y simple, que recorre una curva de Jordan Γ con orientación positiva. ( F {\ Displaystyle {\ overline {dz}}}. Se encontró adentro – Página 56Ejercicio gencia para 2.8. la región Para el comprendida campo vectorial entre dos E = casquetes 10cosr3 2 φ ... de un campo vectorialA alrededor de una trayectoria cerrada C como: Definición 2.5 La integral de línea del campoA a lo ... Partimos el intervalo [ a , b ] (que es el rango de los valores del parámetro t ) en n intervalos de longitud Δ t = ( b - a ) / n . Específicamente, una inversión en la orientación de la parametrización cambia el signo de la integral de línea. donde r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C. Se encontró adentro – Página 184Se introduce ahora la noción de integración de campos vectoriales sobre trayectorias. ... dt = ∫ b a F(c(t)) · c (t) dt Recordando la definición del diferencial de desplazamiento ds = c dt, se define la integral de línea como sigue. 2 https://drive.google.com/file/d/0B42749w7zC4yMGo2SDA5bTZ4b3c/viewEste video corresponde. F {\ Displaystyle \ mathbf {F} = {\ overline {f (z)}}} ( INTEGRALES DE LÍNEA 1/21 1. Definición. ( nivel, que son las que se obtienen de la ecuación: 2.- Se ubican los puntos (x;y) Integral de línea de un campo vectorial. Una técnica común en la física es integrar un campo vectorial a lo largo de una curva.Dado una partícula en un campo vectorial gravitacional, donde cada vector representa la fuerza que actúa en la partícula en ese punto del espacio, la integral curvilínea es el trabajo hecho sobre la partícula cuando viaja a lo largo de cierta trayectoria. Tema 10: Estructures prefabricades . {\ Displaystyle f (z) = u (z) + iv (z)} ′ de un campo escalar o vectorial a lo largo . En otras palabras, la integral de F sobre C depende únicamente de los valores de G en los puntos r ( b ) y r ( a ) y, por lo tanto, es independiente de la ruta entre ellos. El campo escalarse trabaja con funciones que van: La integral de línea de f a lo largo de la curva se define como: Para hallar ds se calcula la norma o módulo de la derivada de la función paramétrica de la curva. Animation. Las integrales de línea son útiles en física para calcular el trabajo que realiza una fuerza sobre un objeto en movimiento. CAMPOS VECTORIALES .INTEGRALES DE LÍNEA Tema 2 Grado en Ingeniería Mecánica. Integral de línea de un campo escalar. Calculemos ahora su longitud ( )= Z 4 0 p 25sin2 +25cos2 +1 = Z 2 0 √ 26 =4 √ 26 Integral de línea de campos vectoriales. {\ Displaystyle L \ subconjunto U}, puede definirse subdividiendo el intervalo [ a , b ] en a = t 0 < t 1 <... < t n = by considerando la expresión. L planteamiento inicial de esta ley y se aplica en dos casos. 1.- Se dibujan las curvas de ) El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. ( 3.5. , magnético, la ley de ampere. como Teorema de Stokes, que nos permite calcular una integral de línea de un campo vectorial en el espacio mediante una integral de superficie del rotacional del campo. Khan Academy es una organización sin fines de lucro 501(c)(3). 2 Propiedades del gradiente, divergencia y rotacional. Para cada para ordenado (x, y) del dominio, se tiene asociado un vector bidimensional Se encontró adentro – Página 274INTEGRAL DE SUPERFICIE 274 la integral de línea se define como så v • dl = lim 2 V , • A ! Un ejemplo de integral de línea es el caso de una fuerza F actuando sobre una partícula en el campo de la fuerza . La integral de línea BF • dl ... U Capítulo 6 Campos vectoriales Durante este curso llevamos estudiados distintos tipos de funciones. z Integral de línea de un campo Vectorial. {\ textstyle \ oint _ {L} f (z) \, dz,}, La integral de línea con respecto al diferencial complejo conjugado se define como F Esta herramienta es capaz de proporcionar Circulación cuando se da la vorticidad Cálculo con la fórmula asociada a ella. Unidad 2 Integral de Línea 2.2 Integral de funciones vectoriales Campos Vectoriales De nición 1. Poder interpretar físicamente la integral de un campo vectorial sobre una curva como trabajo, circulación o flujo . X Title: Tema 2. o Utilizar representaciones gráficas como ayuda para entender las definiciones y las propiedades de la integral de línea de un campo vectorial. Se encontró adentro... introducimos ahora el concepto de flujo de un campo vectorial f(r) arbitrario como la siguiente integral de superficie * = /rras (6.42) La integral de superficie se define de manera análoga a como se ha definido la integral de línea ... 4.2. Además se realiza un ejemplo en el que se evalúa una integral de línea combinada. Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados. Sea la función escalar f definida por f : D ⊆ ℜn → ℜ , una función continuamente diferenciable, y sea la curva C, una curva parcialmente suave definida paramétricamente por h : [ a, b ] → ℜn / h ( t ) = ( h1 ( t ) , h2 ( t ) ," , hn ( t ) ) , cuyos extremos son . , ( Se encontró adentro – Página 466Campos vectoriales . Gradiente , rotor y divergencia . Laplaciano . Jacobiano . Hessiano . Lagrangiano . Potencial de un campo vectorial . Longitud de curvas . Integral de línea . Diferencial exacta . Integral doble . Teorema de Green . Teorema De Green. , En matemáticas, una curva integral de un campo vectorial es el análogo abstracto de la línea de corriente en el flujo de un fluido.En física cuando el campo en cuestión representa un campo de fuerzas las curvas integrales corresponden a las líneas de fuerza. En electrodinámica, puede ser el campo eléctrico o magnético. Manual de calculo vectorial 2008. Si la parametrización γ es continuamente diferenciable , la integral de línea se puede evaluar como una integral de una función de una variable real: Cuando L es una curva cerrada (los puntos inicial y final coinciden), la integral de línea a menudo se denota a veces en ingeniería como integral cíclica . Se encontró adentro – Página 2-124Definición de la integral de línea Supongamos que L ( x , y ) y M ( x , y ) son funciones continuas de dos variables que ... Sea la función vectorial K de dos variables reales ( el campo vectorial K ) definida por la ecuación K ( x ... donde r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C. Integrales de línea en campos vectoriales (artículos) Tiempo actual: 0:00Duración total:15:51. z + Se encontró adentro – Página 234Se define un campo vectorial } continuo , y se eligen dos puntos A y B de S. Si se pretende calcular la integral de línea a lo largo de un camino en S ... qué campos vectoriales tienen integrales de línea independientes del camino ? Por tanto, una integral de línea de un campo escalar es una integral de línea de un campo vectorial, donde los vectores son siempre tangenciales a la línea. En dinámica de fluidos, el campo es el campo de velocidad del fluido. La integral es entonces el límite de esta suma de Riemann cuando las longitudes de los intervalos de subdivisión se acercan a cero. Se encontró adentro – Página 112La ecuación ( 14 ) se llama integral escalar de linea , su resultado es un escalar C , y es la ecuación general para todos los campos vectoriales . En el caso de tratarse de una linea cerrada que no se corte a si misma , la integral ... observaciones de notación e interpretaciones físicas. Integral de línea de un campo vectorial Definición. El Teorema de Stokes nos brinda una relación de una integral de línea de un campo vectorial en R 3 y una integral de superficie, siempre y cuando se esté integrando en una trayectoria cerrada. z = →R^n. 11 talking about this. y = Integrales de línea de campos vectoriales Sean c(t):[a;b]!Rn de C1 y f:Rn!Rn campovectorialcontinuosobrelagráficade c. Laintegraldelíneadelcampo f alolargode . Una integral de línea acumula elementos a lo largo de una curva. Solución: {\ Displaystyle \ mathbf {F} \ colon U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}, Aquí • es el producto escalar y es la perpendicular en el sentido de las agujas del reloj del vector velocidad . Si t i es el i- ésimo punto en [ a , b ] , entonces r ( t i ) nos da la posición del i- ésimo punto en la curva. Bernat Masó, Ernest (Universitat Politècnica de Catalunya, 2021-09) Problema, exercici. z 1. {\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = (x (t), y (t))} ¯ La integral F a lo largo de C, está dada por: Un campo vectorial F consta de infinitos vectores. z que es la suma de Riemann para la integral definida anteriormente. r o t ( g r a d ( f)) = 0. d i v ( r o t ( F)) = 0. r o t ( f ⋅ F) = g r a d ( f) × F + f ⋅ r o t ( f) d i v ( f ⋅ F) = f ⋅ d i v ( F) + g r a d ( f) ⋅ F. donde ⋅ es el producto escalar y × el . t 0 puntos de energía. Definición. tu Definición y significado físico 3 −→R3 un campo vectorial de clase 1 y consideremos una curva :[ ] −→R3 de clase Integrales de lÍnea: clase 14 (30 de septiembre de 2020): construcción de la integral de línea para campos escalares. Sea la función escalar f definida por f : D ⊆ ℜn → ℜ , una función continuamente diferenciable, y sea la curva C, una curva parcialmente suave definida paramétricamente por h : [ a, b ] → ℜn / h ( t ) = ( h1 ( t ) , h2 ( t ) ," , hn ( t ) ) , cuyos extremos son . y En electrodinámica, puede ser el campo eléctrico o magnético. D Profesor: Rigoberto Beltran Contenido: Integral de linea de un campo vectorial y teorema de green en el plano con guia de ejercicios integrales de integrales Para una descripción formal de una integral de línea escalar, dejemos que C sea una curva suave en el espacio dada por la parametrización r ( t) = x ( t ), y ( t ), z ( t ) , a ≤ t ≤ b. Nuevamente, usando las definiciones anteriores de F, C y su parametrización r ( t), construimos la integral a partir de una suma de Riemann. Se encontró adentro – Página 84En un campo solenoidal las líneas vectoriales ( líneas de campo ) no pueden comenzar ni terminar , es decir , serán ... integral de línea , es una integral curvilínea , en el caso particular en que el campo vectorial sea un campo de ... Sea el campo vectorial F(x,y,z)=(3x+yz)i+(2x+y^2)j+(xz)k. Calcular la integral de linea a lo largo de la curva expresada en forma paramétrica C: x=2+y, y=z^. Bernardo Acevedo Frías. If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website. ( Determine el valor de , si y . La integral de línea de un campo vectorial se puede derivar de una manera muy similar al caso de un campo escalar, pero esta vez con la inclusión de un producto escalar. El Teorema de Stokes nos brinda una r elación de una integral de línea de un campo vectorial. En general, si F es un campo vectorial continuo cuyo dominio es D, la integral de línea ∫cF.dr es independiente de la trayectoria ∫c1 F.dr = ∫c2 F.dr para cualesquiera dos trayectorias C1 y C2 en D . ) De un campo vectorial Se define la integral de línea de un campo vectorial from INGENIERIA 2DO at UVM I ( . Lección 190 - Definición de Rotacional de un Campo Vectorial. Se encontró adentro – Página 652.13 Rotacional de una función vectorial * Desarrollamos el concepto de divergencia , una propiedad local de un campo vectorial , partiendo de la integral de superficie sobre una gran superficie cerrada . Calcula el rotacional del campo vectorial y concluye que es conservativo, pero comete errores en la búsqueda de la función potencial. ) {\ Displaystyle f (z)} Dado un campo vectorial definido en algún conjunto abierto A en el espacio euclídeo, o más generalmente en una . Independencia de la trayectoria en integrales de línea, Integrales de línea sobre curvas cerradas de campos vectoriales conservativos, Práctica: Integrales de línea en campos vectoriales conservativos, Integral de línea sobre una curva cerrada de un campo conservativo. El objetivo de esta sección es explicar la integral (1) donde F es un campo vectorial, S es una superficie suave cerrada, dS es el elemento vectorial del área de superficie elemental, esto es : siendo el vector normal unitario a la superficie. Sea F en. Estructures de formigó. Integral de línea de un campo vectorial. Si un campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (es decir, si F es conservador ), es decir, entonces, por la regla de la cadena multivariable, la derivada de la composición de G y r ( t ) es, que resulta ser el integrando de la integral de línea de F en r ( t ). Sea ahora F : Ω → Rnn y γ : [a,b] → Ω un camino regular a trozos. Desde el punto de vista de la geometría diferencial , la integral de línea de un campo vectorial a lo largo de una curva es la integral de la forma 1 correspondiente bajo el isomorfismo musical (que lleva el campo vectorial al campo covector correspondiente ), sobre la curva considerada como sumergida. integral cuya funcin es evaluada sobre una curva. + Se encontró adentro – Página 37En este tema se hace hincapié en la definición , cálculo y propiedades de la divergencia de un campo vectorial . ... relación de esta magnitud con la físicas de las mismas . integral de línea cerrada o circulación del campo vectorial . Clases online de cálculo diferencial e integral, aplicaciones en la solución de problemas de optimización. Dado un campo vectorial definido en algún conjunto abierto A en el espacio euclídeo, o más generalmente en una . O Scribd é o maior site social de leitura e publicação do mundo. Accés obert. z 233 Definición Un campo vectorial en D⇢ R2 es una función FÆ : ! Práctica: Funciones potenciales. ) integral de línea de un campo vectorial. Integral de línea de un campo vectorial [] Para realizar la integral de línea de un campo vectorial sobre la curva es necesario realizar el producto punto entre la derivada de la curva respecto a t y el campo, multiplicado por el diferencial de t. La integral será: AREA DE LA SUPERFICIE INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL (TRABAJO REALIZADO) 1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) dA b dS F dr F Tds F ( x(t ), y(t ), z (t )) r ' (t )dt 2 2 C C a R R SI F ES UN CAMPOVECTORIALDE LA FORMA F ( x, y ) Miˆ Nˆj Y C VIENE DADA POR LONGITUD DE ARCO b b r (t ) x(t )iˆ y (t ) ˆj ENTONCES F dr Mdx Ndy s r ' (t ) dt x . Si f es un campo escalar y F un campo vectorial, entonces siempre se cumple que. En física, la circulación es la integral de línea de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada. z Al ver los números complejos como vectores bidimensionales , la integral de línea de una función con valores complejos tiene partes reales y complejas iguales a la integral de línea y la integral de flujo del campo vectorial correspondiente a la función conjugada Específicamente, si parametriza L , y corresponde a el campo vectorial entonces: La integral F  a lo largo de C,  está dada por: Se dibujan las curvas de ⊆ Calcular la integral de línea Z ! 1 Libro de Cálculo Vectorial o Matemáticas III. Integrales de linea Created Date: 12/14/2004 6:16:30 PM ( Definición Integral curvilínea de un campo escalar. ⊥ Para Integral de línea de un campo escalar Introducción La Integral de línea o curvilínea es aquella integral que se resuelve sobre una curva definida en el plano o en el espacio. Solución: 2. propiedades de la integral de línea para campos escalares. especiales: un alambre largo y una bobina. Se encontró adentro – Página 82Definimos la circulación de un campo vectorial, Γ, por la siguiente expresión: Γ= ⋅. ∫... V dl donde la integral es de línea cerrada, V representa el campo vectorial y dl el vector asociado a la diferencial de línea, ... Para un campo vectorial , F ( x , y ) = ( P ( x , y ), Q ( x , y )) , la integral de línea a lo largo de una curva C ⊂ U , también llamada integral de flujo , se define en términos de un parametrización suave por partes r : [ a , b ] → C , r ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) , como: Sustituyendo, encontramos: Este es un resultado típico de la fórmula integral de Cauchy y el teorema del residuo . Se encontró adentro – Página 33sobre el contorno c y una integral sobre la superficie abierta correspondiente S: (1.38) La anterior expresión, conocida como teorema de Stokes o ... Halle el rotacional del campo vectorial A = i(x2 + yz) + ~j(y2 + xz) + k(z2 + xy) . 7. F ¡Haz una donación o hazte voluntario hoy mismo! Por esta razón, una integral de línea de un campo vectorial conservador se denomina independiente de la trayectoria . Un ampco vectorial en el plano R 2es una función F: R !R2 que asigna a adac vector x2DˆR2 un único vector F(x) 2R2 onc F(x) = P(x)i+ Q(x)j Nuestra misión es proporcionar una educación gratuita de clase mundial para cualquier persona en cualquier lugar. ( + Definición Integral curvilínea de un campo escalar. Como antes, la evaluación de F en todos los puntos de la curva, y teniendo el producto escalar con cada vector de desplazamiento nos da la infinitesimal contribución de cada partición de F en C . F Se encontró adentro – Página 186Proposición 7.6 La integral de linea de un campo vectorial a lo largo de una curva derivable no depende de la parametrización (que preserve la orientación) de la curva. NOTA 7.7 Dehecho,siI':{'y(t)ER":aítíb}yf':{€(s)eRnzcísí d} son dos ... y FUNCIONES VECTORIALES, LIMITES. Usar integrales de línea para encontrar el trabajo, Práctica: Integrales de línea en campos vectoriales, Parametrización de una trayectoria en sentido contrario, Integral de línea de un campo escalar independiente de la dirección de la trayectoria, Integrales de línea de un campo vectorial dependiente de la dirección de la trayectoria. I ( Funciones vectoriales, anteriormente has trabajado con funciones cuyo dominio y cuyo codominio eran ambos conjuntos de numeros reales. ( Se encontró adentro – Página 39310 INTEGRALES DE LÍNEA 10.1 Introducción En el volumen I estudiamos la integral Så f ( x ) dx , primero para funciones ... definida por una función vectorial a , y el integrando es un campo vectorial f definido y acotado en esa curva . y V 2 que a cada punto (x, y)2D le asigna un (único) vector de dos componentes FÆ(x, y)2V 2. Ejemplo 2, Práctica: Distinguir campos vectoriales conservativos, Integrales de línea en campos vectoriales (artículos), supongamos que tenemos una parametrización en forma vectorial r dt igual a x dt multiplicado por el vector unitario y más 7 x el vector unitario jota y déjame hacer una gráfica de cómo se va a ver esto este de aquí es un eje déjame poner un poco más derecho este de aquí es el eje y este de por acá es el eje x y entonces vamos a ponerle que t se mueve en un cierto intervalo digamos que a es menor o igual que t y eso es menor o igual que b sale cuando te es igual a a estamos en este punto es decir si metemos este iguala aquí arriba obtenemos un vector que va del 0 a este punto y luego conforme te va incrementando su valor se empieza a trazar una curva en el plano xy y se vería más o menos así notemos que para t igual a b obtenemos un vector que apunta hacia el extremo final de este modo la parametrización define una trayectoria recorrida en esta dirección hacia ahora vamos a dar una segunda parametrización en forma vectorial déjame cambiar de color y lo voy a escribir acá a la derecha vamos a llamarla r r reversa entonces va a ser eres v r eres v r no no eres v resuena súper feo dejame borrar eso vamos a llamarle nada más rt pero es diferente porque está de aquí es verde entonces es r dt y en vez de ser x dt por iba a ser x de a más b - t x y más y lo mismo con que llegue a más b - t x j esto ya lo habíamos encontrado en los vídeos pasados la trayectoria que se traza al considerar esta nueva parametrización es muy parecida de hecho se ve así dibujo el eje por acá el eje x de hecho vamos a etiquetar los ejes eje y eje x eje y eje x esta trayectoria se va a ver muy parecida a la primera sólo que ya no va a empezar aquí terminar acá ahora la vamos a recorrer al revés antes déjame escribir que también ahora a es menor o igual que t y es menor o igual que b o sea te va de a a b como te comentaba ahora substituir te iguala este vector de dirección y por tanto empezamos acá arriba después conforme te va aumentando su valor aquí moviéndose de a ave se va trazando la misma trayectoria pero recorrida en sentido opuesto es la misma trayectoria pero en la dirección contraria observa que al sustituir de igual ave aquí arriba tenemos equis dea y de este otro lado llegue a las veces cancelan y el vector director apunta hacia acá de este modo la forma de las dos trayectorias es exactamente la misma pero están recorridas en sentido contrario lo que queremos hacer en este vídeo es ver cómo afecta a este cambio de parametrización en una integral de línea sobre un campo vectorial tomemos un campo vectorial digamos efe de x igual a pd x por el vector unitario y más q de xy por el vector unitario j esto de aquí simplemente es un campo vectorial en el plano x y ahora como la integral de línea de este campo vectorial sobre esta trayectoria es decir sobre si se compara con la integral de línea del mismo campo vectorial pero sobre esa otra trayectoria es decir con la integral de menos c vamos a ponerle nombres este de acá es la curva ce esta de acá es la curva menos ce y entonces la pregunta es cómo se comparan las integrales de la curva positiva con la de la negativa de f de r va entonces antes de que me meten las matemáticas vamos a pensar un poco la intuición detrás vamos a dibujar el campo vectorial vamos a poner algunos vectores acuérdate que un campo vectorial le asigna a cada punto del plano xy una cierta fecha o sea un vector entonces lo único que nos importa son los vectores que están sobre la curva sobre la curva se vería más o menos así verdad bueno por decir algo vámonos para acá es el mismo campo vectorial entonces otra vez ponemos los mismos vectores por ahí sale lo que queremos hacer es agarrar un poco de la intuición de lo que está pasando esto de aquí es una suma estamos haciendo una suma de muchas cosas verdad estamos tomando un punto sobre la trayectoria es más déjame empezar aquí entonces vamos a tomar un punto sobre la trayectoria vamos a ponerlo en rosa mexicano y queremos hacer el producto punto de efe es decir este de aquí con de r es decir la derivada de nuestra parametrización vectorial y recordamos que sólo podemos pensar como un muy pequeño cambio así infinitesimal en la dirección de nuestra trayectoria entonces cuando hacemos el producto punto de esto de aquí esencialmente lo que estamos haciendo es obtener un valor escalar que nos dice que tanto de la fuerza está en dirección del movimiento y luego multiplicarlo por la magnitud de la fuerza y del movimiento en el dibujo nos quedaría una proyección como por aquí pero sabes que mejor déjame hacer un zoom entonces lo que voy a hacer es copiar esta parte y lo voy a agrandar entonces supongamos que este de aquí es la trayectoria y que aquí tenemos efe en ese punto efe es el campo vectorial ahora de r se vería como un pequeño cambio lo voy a hacer con otro color con naranja este de aquí es de r este de aquí es efe y entonces el producto punto de estos dos vectores es que tanto de efe va en la misma dirección que de erre entonces lo podemos pensar como la proyección sobre t r y entonces la magnitud que obtenemos multiplicada por la magnitud de r es el producto punto de f con de r aquí vamos a obtener un valor positivo porque tenemos puras longitudes positivas va pero qué sucede si el de r va en la dirección contraria como en el segundo caso déjame dibujar otra vez el zoom eso de ahí es la misma parte de la curva una vez más tenemos nuestra f entonces la f nos da un vector estoy dibujando exactamente lo mismo pero ahora la de r va en la otra dirección por qué pues porque menos se recorre en dirección contraria entonces de r nos queda algo de pues un vector de este estilo sale entonces nos queda en esa dirección este de aquí es de r y entonces cuando hacemos el producto punto ahora otra vez vamos a proyectar efe nr pero esta vez tenemos que proyectarlo por acá observa que está yendo en la dirección contraria de de r entonces al multiplicar las magnitudes deberíamos obtener una magnitud negativa otra vez en este caso la proyección de f queda en dirección contraria que de r pero en el primer caso la proyección y va en la misma dirección entonces la intuición nos debe de decir que estas integrales sólo varían en un signo menos vámonos a las matemáticas para intentar demostrar esto vale entonces vamos a movernos acá abajo para tener un poco más de espacio y lo primero que vamos a hacer es encontrar una expresión para cada deere déjame escribirlo por aquí abajo en la primera integral de r entre dt está definido como x prima de t por y + + de prima de t x j entonces vayamos a la segunda integral en la curva que va al revés tenemos que de r / dt es igual a y aquí tenemos que usar la regla de la cadena vamos aquí arriba queremos la derivada de x con respecto a t eso es la derivada de lo de adentro es decir menos 1 x la derivada de lo de afuera evaluado en lo de adentro entonces es menos 1 la derivada de lo de adentro por la derivada de lo de afuera evaluada en a más de lo de adentro por iu y luego hay que hacer lo mismo con ye verdad es la derivada de este término la derivada de lo de adentro es menos 1 x la derivada de lo de afuera evaluado en lo de adentro es decir que prima de a más de menos te lo escribimos aquí abajo menos que prima de a b menos te por j entonces queda esto y esto respectivamente pasemos ahora a escribir de r entonces lo que vamos a hacer es multiplicar por de t de r nos queda igual a x prima de t más prima de té por j y todo esto multiplicado por vete podemos pensar desde como un escalar aquí estamos haciendo algunos crímenes matemáticos pero es más sencillo así vamos acá de r es igual a menos x ya cambié de verde pero no importa x prima de ambas ve - t por y menos y prima de amas ve - t por jota vale vamos a multiplicar todo esto por de t ok entonces ya estamos listos para expresar la integral como una función desde entonces está estar acá que nos queda nos queda la integral de a a b que se mueve de ave de f x de perdón xd de coma 7 punto punto de r entonces drs es el de r que calculamos acá lo cual es a ver ese punto x prima de t por y de prima de té por j y todo esto de aquí tenemos que multiplicarlo por de t entonces vamos a ponerle vete listo entonces pasamos a la segunda integral ahora cuando hacemos la integral en el lado contrario nos queda la integral de ave de f de ahora no es x dt sino xd t además ve - te estoy escribiendo en pequeño para que quepa punto y entonces hay que hacer un producto punto con este ere es punto menos x prima de amas ve - de x y menos menos de prima de ahí creo que no va a caber déjame borrar un poco para hacer algunos ajustes y que todo quede mejor de hecho como aquí tengo un menos y tengo otro menos en el segundo sumando entonces voy a cambiar esos menos hasta afuera y luego ese menos al ir porque es un valor escalar y vamos a ponerlo afuera de pues digamos vamos a ponerlo afuera de la integral entonces lo ponemos hasta acá simplemente salió del producto punto y de la integral y luego tenemos x prima de hamás b - t por más que prima de ab - t voy a mover un poquito por j y todo eso de té listo esta primera es la integral de cuando recorremos la curva en sentido normal y esta otra es cuando recorremos la curva en dirección contraria ahora como en el vídeo pasado vamos a hacer un cambio de variable pero antes de eso déjame recapitular aquí dice el producto punto y luego simplemente saque el signo menos que teníamos ese signo menos lo pensé como un -1 tanto en de r como en la integral pasamos a la substitución queremos llegar a que esta integral es la negativa de esta otra eso es lo que nos dijo nuestra intuición entonces me voy a enfocar en la integral de la derecha déjame proponer la siguiente sustitución vamos a ponerle sea un iguala a más b - t el mismo truco del vídeo pasado entonces de eeuu es igual a menos de t simplemente derivamos ambos lados o bien podemos escribir que de t es igual a menos de 1 entonces vamos a ver qué obtenemos cuando hacemos este cambio primero tenemos que ponerle si te es igual a a entonces eso es igual a más ve - entonces es igual a b esto es para cambiar los límites de integración para cuando te es igual a b entonces eso es igual a más b b entonces nos queda o igual a igual a saleh entonces haciendo este cambio de variable obtenemos la siguiente integral a ver esta integral se hace igual a menos la integral de iguala b verdad ahora empezamos en b y terminamos en a iguala de igual a igual a de f de x de 1,7 aquí tenemos y aquí también tenemos un punto y ahora esta expresión de acá entonces es a ver les voy a poner el paréntesis y luego x prima de un porn y esa es esta expresión más de prima de un por j y todo eso en vez de ponerle un dt tenemos que ponerle un déu pero dt dv entonces escribo menos de uno pero en vez de poner el menos aquí pues voy a poner de uno y ese menos sale sale sale aquí se cancela con este menos y se vuelve un más vamos a ponerle aquí un más y ahora tú puedes estar pensando en estas integrales parecen ser iguales no parecen tener signo contrario y bueno casi tienes razón excepto que aquí tenemos los límites de integración de una forma y acá de otra entonces esta nueva integral que encontramos tenemos todavía que voltear los límites de integración y entonces nos queda igual a menos la integral de a a b d efe de f de de que así de x de 1,7 punto x prima de 1 x y más prima de 1 j d ahora sí esto es idéntico a esto esta integral esta integral indefinida es idéntica a la de acá la variables distintas acá es tt y acá es de eeuu pero como sólo la variable de integración entonces vamos a obtener exactamente los mismos valores si ponemos la misma a la misma b el mismo campo vectorial efe y recorremos la misma trayectoria dada por r vamos al resumen cuando tenemos una integral de línea que está definida en un campo vectorial eso es importante verdad que f sea un campo vectorial entonces la dirección si importa si recorremos en el sentido contrario obtenemos la versión negativa esto es porque cuando cambiamos el sentido la dirección de de r se invierte y por tanto los productos puntos tienen signos contrarios y qué trabalenguas recordemos que si tenemos un campo escalar esto no pasa eso lo vimos en el vídeo anterior con un campo escalar no nos importa la dirección del recorrido daba lo mismo si recordamos o menos y eso era porque estábamos intentando encontrar un área saleh espero que esto te haya parecido al menos un poquito impresionante hasta la próxima, Integrales de línea en campos vectoriales.

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